viernes, 16 de abril de 2010
Aplicaciones De Programacion No Lineal
Las aplicaciones de la programacion no lineal en economa son abundantes y muy importantes,mostraremos primeramente que loo multiplicadores de Kuhn-Tucker pueden ser interpretados heuristicamente como los precios de equilibrio, luego presentaremos dos aplicaciones, validas tanto por su importancia en la teora economica como por sus ense~nanzas para la tecnica que estamos estudiando.
Interpretacion de los multiplicadores de Kuhn-Tucker. Supongamos que la funcion objetivo representa un costo que se intenta minimizar. Los argumentos de la funcion son los insumos necesarios para producir cierto producto. Las restricciones estan de¯nidas por la cantidad de recursos disponibles para la produccion. El programa sera un programa de nimizacion con restricciones convexas del tipo gj(x) · 0; j = 1; 2; :::; m: Se ajusta al programa de maximizacion tratado en las secciones anteriores, cambiando en forma adecuada signos positivos por negativos y minimizacion de la funcion objetivo por maximizacion de su opuesta. Analogamente las opuestas de las restricciones, consideradas aque dadas por funciones convexas, son funciones concavas.
Supongamos que es posible modi¯car las restricciones, adquiriendo una cantidad adicional de recursos en aquellos casos en que el optimo x¤ implica que la restriccion es activa, gj(x¤) = 0; j 2 E; siendo E el conjunto de restricciones activas. Supongamos que el precio de la unidad adicional
del recurso j tiene un precio v¤j ; j 2 E: Sea entonces v¤ el vector precios unitarios de los recursos
Interpretacion de los multiplicadores de Kuhn-Tucker. Supongamos que la funcion objetivo representa un costo que se intenta minimizar. Los argumentos de la funcion son los insumos necesarios para producir cierto producto. Las restricciones estan de¯nidas por la cantidad de recursos disponibles para la produccion. El programa sera un programa de nimizacion con restricciones convexas del tipo gj(x) · 0; j = 1; 2; :::; m: Se ajusta al programa de maximizacion tratado en las secciones anteriores, cambiando en forma adecuada signos positivos por negativos y minimizacion de la funcion objetivo por maximizacion de su opuesta. Analogamente las opuestas de las restricciones, consideradas aque dadas por funciones convexas, son funciones concavas.
Supongamos que es posible modi¯car las restricciones, adquiriendo una cantidad adicional de recursos en aquellos casos en que el optimo x¤ implica que la restriccion es activa, gj(x¤) = 0; j 2 E; siendo E el conjunto de restricciones activas. Supongamos que el precio de la unidad adicional
del recurso j tiene un precio v¤j ; j 2 E: Sea entonces v¤ el vector precios unitarios de los recursos
Ejemplo De Programacion No Lineal
Ejemplo
A una compañía le cuesta c UM por unidad fabricar un producto. Si la compañía cobra p UM por unidad de producto, los clientes pedirán D(p) unidades. Para maximizar las ganancias, ¿qué precio tendría que poner la compañía?
Solución
La variable de decisión de la empresa es p
Dado que la ganancia de la empresa es (p-c) D(p), la empresa querrá resolver el siguiente problema de maximización sin restricción:
(p-c) D(p)------- Maximo
Problema De Programacion No Lineal
El problema (PNL) consiste en encontrar las variables de decisión factibles para el problema para las cuales la función objetivo tome el mayor valor posible. Si para un punto, la función objetivo toma el valor máximo de todos los puntos situados en algún entorno suyo, se dice que el máximo es local. Si se encuentra un punto que produce el valor máximo de f en todo el conjunto de oportunidades, el máximo es global:
Definición 1.
Un punto x* ∈ X se dice que es un máximo local de (PNL) si existe un entorno de x*, E(x*) tal que ∀ x ∈ E(x*) ∩ X, se verifica f(x*) ≥ f(x).
Definición 2.
Un punto x* ∈ X se dice que es un máximo global de (PNL) si ∀ x ∈ X, se verifica f(x*) ≥ f(x).
Definición 1.
Un punto x* ∈ X se dice que es un máximo local de (PNL) si existe un entorno de x*, E(x*) tal que ∀ x ∈ E(x*) ∩ X, se verifica f(x*) ≥ f(x).
Definición 2.
Un punto x* ∈ X se dice que es un máximo global de (PNL) si ∀ x ∈ X, se verifica f(x*) ≥ f(x).
Los problemas no lineales pueden ser:
- Restringidos: cuando se tienen restricciones (lineales o no lineales).
- No-restringidos: cuando no se tienen restricciones y sólo se optimiza la función objetivo, que desde luego, no es lineal,
- Contínuos: cuando todas las variables y funciones son continuas,
- Discretos: cuando alguna de las variables y/o funciones es discreta,
- Diferenciables: cuando todas las funciones del problema son doblemente diferenciables,
- Con restricciones de igualdad y/o desigualdad,
- Convexos, cuadráticos, separables,
- Con una sola variable independiente o con varias variables independientes.
Una de las características que hace que los problemas de optimización no lineal sean mucho más difíciles de resolver que los problemas lineales, es que la solución óptima no se encuentra en un punto extremo de la región de factibilidad.
La gran desventaja de los métodos de optimización no lineales, es que, generalmente encuentran un óptimo relativo o local, más no el óptimo local o absoluto, además se presentan de muchas formas distintas y no se dispone de un algoritmo que resuelva todos estos tipos especiales de problemas. En su lugar se han desarrollado algoritmos para algunas clase (tipos especiales) de problemas de programación no lineal y de los cuales algunos son parte primirdial del presente trabajo y se describen a continuación.
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